简介
有许多程序可以创建自相似集合，这些集合由迭代函数系统（IFS）定义。例如，Fractint、Fractal Designer，或IFS Matlab Generator等。由于MQL5语言的速度以及与图形对象的兼容性，这些美丽的集合可以在MetaTrader 5客户端终端中进行研究。
由cIntBMP库开发的图形功能大大简化了图形图像的创建。这一库获得了MetaQuotes Software Corp的特别奖。
在本篇文章中，我们将考察如何使用cIntBMP库进行工作，并探讨使用迭代函数系统创建分形集合的算法。
1. 平面的仿射变换
平面的仿射变换是一种映射 
。通常，仿射2D变换可以通过一些 
矩阵和 
向量来定义。具有坐标(x,y)的点通过线性变换转变为其他点 
：
变换必须是非奇异的，即 
。仿射变换会将大小改变 
倍。
仿射变换不会改变几何对象的结构（线变换为线），AT允许描述对象的简单“变形”，如旋转、缩放和平移。
仿射平面变换的示例：
1) 平面的旋转 角度为：
2) 平面的缩放 采用
和
系数（X和Y轴）：
3) 平面的平移 采用
向量：
收缩映射是关键（参见 Hutchinson 的结果）。
如果 
和 
具有坐标 
和 
，并且 
是一个度量（例如，欧几里得度量：
）。如果 
，则称仿射变换为 收缩。
以下是仿射变换的示例：
结果为：
2. 相似变换
通过以下方式构造分形：某些（简单的）几何对象（线段、三角形、正方形）分成N块，其中M块用于进一步的“构造”集合（如果N=M，我们将得到结果集的整数维数）。然后这个过程对每一块重复进行。
经典分形：
线段：
- 三分克赫曲线，N=3，M=4；
- 坎托尔尘埃，N=3，M=2；
三角形：
- 谢尔宾斯基垫片，N=4，M=3；
正方形：
- 谢尔宾斯基地毯，N=9，M=8；
- 维切克分形，N=9，M=5。
等等。
分形具有自相似结构，其中一些可以通过几个相似变换来定义。仿射变换的结构取决于分形构造的方式。
正如你将看到的那样，这非常简单，我们唯一需要解决的问题是只描述分形构造的第一个迭代，并找到相应的仿射变换集合。
假设我们有一个集合。根据分形创建算法，我们需要对其进行缩小、旋转并“放置在某个位置”。问题是使用仿射变换描述这个过程，即我们需要找到矩阵和向量。
可以很容易地证明，取初始集合的3个点（非平凡的）并将其变换为“缩小”集合的3个对应点是足够的。这个变换将导致6个线性方程，使我们能够找到a, b, c, d, e, f作为解。
让我们来展示一下。假设 
三角形转变为 
三角形。
通过求解线性方程组，我们将能够得到a, b, c, d, e和f系数：
示例：谢尔宾斯基垫片：
点的坐标是：
- A (0,0)
- B (0,1)
- C (1,1)
- D(0,1/2)
- E (1/2,1)
- F(1/2,1/2)
我们有3个变换：
- ABC -> ADF
- ABC -> DBE
- ABC -> FEC
线性方程组如下：
解决方案为： 
, 
, 
我们已经找到了三个仿射变换的系数。接下来，我们将用于创建自相似集合。
3. 使用迭代函数系统创建分形
迭代函数系统（IFS）是一组仿射收缩 
，其中
是“权重”。每个IFS函数由7个数字定义： 
，其中
权重在迭代过程中用作第n次变换的概率。最好将它们的值定义为与收缩成比例： 
。
让我们考虑使用迭代函数系统构造分形的算法（另请参阅混沌游戏）。
首先，我们需要取一个初始点，坐标为 
。接下来，我们随机选择一些收缩并绘制点 
。然后再次随机选择一个收缩 
并绘制 
。最后我们将拥有 
作为点集。
收缩的选择依赖于其“概率”。如果我们重复这个过程（例如，约30000个点）并绘制结果集，尽管这个过程是随机的，我们将看到其结构。
这里是一个谢尔宾斯基垫片的示例：
图 1. 使用章节2中计算的IFS系数生成的谢尔宾斯基垫片
代码如下：
//+------------------------------------------------------------------+ //| IFS_Sierpinski_Gasket.mq5 | //| Copyright 2011, MetaQuotes Software Corp. | //| https://www.mql5.com | //+------------------------------------------------------------------+ #property copyright "Copyright 2011, MetaQuotes Software Corp." #property link "https://www.mql5.com" #property version "1.00" //-- include file with cIntBMP class #include <cIntBMP.mqh> //-- Sierpinski Gasket IFS coefficients //-- (a,b,c,d) matricies double IFS_a[3] = {0.50, 0.50, 0.50}; double IFS_b[3] = {0.00, 0.00, 0.00}; double IFS_c[3] = {0.00, 0.00, 0.00}; double IFS_d[3] = {0.50, 0.50, 0.50}; //-- (e,f) vectors double IFS_e[3] = {0.00, 0.00, 0.50}; double IFS_f[3] = {0.00, 0.50, 0.50}; //--相关帖子